高校数学ⅡB 相加相乗平均を使うときの注意点２つ
動画
BGMあり
BGMなし
相加相乗平均
今回紹介するのは
相加相乗平均です。
この公式を覚えておくのはもちろんですが
大切なのは正の数であるということと
等号成立条件です。
この相加相乗平均と等号成立条件の証明は後半で
使い方
不等式の証明
この問題を相加相乗平均で解いてみましょう。
相加相乗平均の問題は不等式の証明問題で
使うことが多いです。
左辺に相加相乗平均を使ってあげると
このように不等式を示すことができました。
次は等号成立条件です。
等号成立条件
相加相乗平均だけだと４以上ということを
確認しただけにすぎません。
この式が４という最小値をとるのかを
確認するために登場するのが
等号成立条件です。
等号成立条件が成り立つということは
４という値をとるということになります。
今回は等号成立条件が成り立ちました。
つまり 、ｘ＝２のとき
最小値４をとるということです。
例題
解答１
まずは相加相乗平均を使いましょう。
次に等号成立条件です。
このように等号成立条件は
ａとかｂとかの値が求まるのではなく
関係式が出てくる場合があります。
解答２
展開してから相加相乗平均を使って
最後に等号成立条件です。
等号成立条件のﾋﾐﾂ
先ほどの問題を展開せずに考えましょう
つまり、左辺の括弧を前と後で別々に
相加相乗平均を考えるということです。
しかし、このように別々に相加相乗平均を考えると
答えが合いません。
なぜかというと
それぞれで等号成立条件を考えたときに
矛盾する条件が出てくるからです。
こうなってしまうとダメなんですね。
別々の条件が出てこないように
等号成立条件は確認しておきましょう。
逆に
別々に等号成立条件を考えても
矛盾しない条件が出てきたらＯＫです。
しかもその方が展開しないので簡単な場合があります。
上の問題のように
別々に相加相乗平均を求めても
等号成立条件は成立しているのでＯＫです。
まとめ
公式もそうですが
条件も覚えておきましょう。
ちなミニコーナー
等号成立条件とは不等式のイコールが成り立つ
ときのことを言うので
本来はイコールの方程式を解く必要があるのですが、
毎回解くのはしんどいので、このように
ａ＝ｂとして解いていきましょう。
それでは、
さようなら。
