高2で解ける東大の入試問題2015年 加法定理と相加相乗平均
動画
BGMあり
BGMなし
15年東大問題
今回の問題はコチラ
問題では直線ｌの傾きの求めるようにありました
ちゃんと求めていますのでご安心ください。
相加相乗平均
そして、この東大の問題で使うのはコチラ
相加相乗平均です。
詳しい内容はコチラ👇
大切なのは式よりも条件２つです。
とくに等号成立条件
三角比を使う
さっそく問題を解いていきますが、ｒ１とｒ２のままではよくわからないので、これらを1変数で表しましょう。
そうしないと最小値を求めようにもよくわかりません。
今回は三角比で求めていくので
👇のようにθをとります。
この時のθの範囲は
０°以上90°以下です。
半径１
赤い三角形の高さはちょうどｒ１と同じ長さなので
タンジェントを使って表すことができます。
直線の傾き
次に
青い三角形と赤い三角形は合同なので
直線ｌとｘ軸のなす角は２θです。
なので、直線ｌをタンジェントを使って表すことができます。
直線の傾きとタンジェントの関係はコチラ👇
error-of-consideration.hatenablog.com
半径２
次に緑と紫の三角形も作ってあげましょう
このときの角度はａとしています。
もちろん、緑と紫の三角形は合同なので
同じ大きさの角度になります。
上の図を見てもあきらかですが、
ａはθを使って表すことができます。
緑の三角形に注目すると
縦の長さが1になります。
これは、
青と赤、緑と紫は合同なので
赤い三角形の底辺の長さが移っています。
ここまでわかったらｒ２もタンジェントを使って表すことができます。
加法定理
以上の式をもとに最小値を求めていくと
ここでの式変形は最後で説明しています。
次に相加相乗平均を使いたいがために
このように式変形します。
無理やり８を足しているので
８を引くています。
相加相乗平均
相加相乗平均を使うときのポイントは赤字と青字の部分が正でないといけないということです。
もちろん今回はθの範囲が０°～90°なので正です。
等号成立条件
次に7以上と言うことはわかったんですが、
７という値をとるのかを調べる必要があります。
そこで等号成立条件を使うわけです。
今回はθの範囲が０°～90°なので
タンジェントの値が正で出てこないといけません。
このようにちゃんと正の値で等号成立条件が出てきたのでＯＫです。
解答
加法定理と使って直線ｌの傾きを求めてあげましょう。
まとめ
ちなミニコーナー
この式変形のメリットは
文字が減るということです。
式変形の説明はｘでしていきます。
それでは、
さようなら。
