中学数学 裏技「三角形の角の二等分線の長さを求める下書き」
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BGMあり
BGMなし
重要な定理
今回は角の二等分線の「長さ」を求めていきますが、
それよりも重要な「辺の比」に関しての定理があります。
絶対に覚えておきましょう。
二等分線の長さ
今回の公式はコチラ
一見、こんな計算で三角形の角の二等分線の長さを求めることができるのか不安ですが、ちゃんと求めることができます。
では、この公式の証明をしていきましょう。
証明
下ごしらえ
まず、辺の比をこのように置いています。
そのうえで、最小に紹介した定理を発動すると
画像のような関係式ができるわけです。
この関係式は後で使うので覚えておいてください。
三平方の定理
三角形の辺の長さと言えば三平方の定理です！
三角形ABCは直角三角形ではありませんが、高さAHを書いてあげることで、直角三角形が誕生します。
このときDH＝ｘにしています。
このように、左と右の直角三角形をについてそれぞれ三平方の定理を使ってあげましょう。
ここまでできたらｘの値を求めていきます。
連立方程式
ここでやりたいことは
ｘの値をａ、ｂ、ｓ、ｔで表すということです。
なので連立方程式で解いていきましょう。
計算方法は自由ですが、
その一例を紹介します。
このようにｘ＝の式になればＯＫです。
三平方、再び。
次に、青い直角三角形について三平方の定理を使います。
今回は、ＡＤの長さを求めたいので
このように辺ＡＤを使うような式を作る必要があります。
ただ、これだけでは解けないので
👇のよに紫の三角形についての三平方の定理の式も使います。
これらをもとに解くと👇
今回はＡＤ＝にするのが目的です。
頑張って計算するとこんな感じ
赤字の部分に注目しましょう。
ここで登場するのが、
最初に作った関係式です。
それぞれを置き換えると
このようにＡＤ＾２＝の式ができましたね。
よって、公式を示すことができました！！
まとめ
この公式を知っていれば
非常に楽に三角形の角の二等分線の長さを求めることができます。
もし、知らないと
証明でやった計算をすることになるので
ぜひ、この公式でカッコよく解答してみてください。
ちなミニコーナー
定理の証明をしてみましょう。
このように平行線を引くと
同位角と錯角ができて
二等辺三角形がつくれるのです。
これに気づければ楽勝ですね！
それでは、
さようなら。
