高校数学ⅡB 積分「公式を使わずに面積を求める方法」
公式が使えないような形をした図形の面積を求めるときに使うのが、そう！定積分なのです。
動画
BGMあり
BGMなし
不定積分を使う
定積分は面積を求めることになります。
不定積分と定積分では異なる意味を持っているのですが、定積分の計算では不定積分を使うことになるので、不定積分を求めるのに不安が残るようであれば、右の動画で復習しておきましょう。
error-of-consideration.hatenablog.com
定積分は面積
この赤い部分を見ても分かるのですが、うねうねしているので公式は使えません。
ですから、この面積を求めるために新しい考え方を作る必要があります。
そこで考え出されたのが、定積分と言うものです。
まず、この赤い面積を細い長方形に分割します。
次に、この青い面積を求めて、最後に、その青い長方形の面積をｘ＝a～ｂまで足し合わせるというものです。
では、実際に計算していきましょう。
定積分を求める
まず、幅ｄｘ、高さｆ(ｘ)の長方形を考えます。ここでの、dxと言うのは微小な幅と言う意味です。厳密にいうと赤い部分はうねうねしているので、長方形で分割していくとずれていしますのですが、その誤差が気にならないくらい細かい長方形に区切るという意味です。
すると、この青い長方形の面積は縦と横の長さが分かっているので、
面積はｆ(ｘ)ｄｘになります。
あとは、このの長方形の面積をｘ＝a～ｂまで足せばいいということです。
足すというのは英語でsumですから、赤い面積は極細長方形の面積ｆ(ｘ)ｄｘをa～ｂまで足せばいいということで、そのsum頭文字Sをとってきて👇のように表します。
例題
今回面積を求める関数をｘ＋１なので、そのグラフを描くと👇のようになります。
この関数と０、３で囲まれた赤い部分の面積を求めよと言うことです。
この面積は台形なので、台形の公式を使うと、この面積は15/2
と求めることができるんですが、
定積分を求めるときに毎回グラフを描くのはしんどいですよね？
そのために、ちゃんとグラフを描かなくても
定積分を計算出る方法があるんです！
定積分の計算方法
まず不定積分を求めてください。このとき積分定数はいりません。
その右上と右下に定積分の範囲を書きます。
今回は０～３なので👆のように書いてください。
このように上に３下に０と書かれているわけなんですが、
あとは、この上下に描かれている数字を代入して、
（上）―（下）にするだけです。
この問題で言うと上に３が書かれているので
それを代入した値から、
下の数０を代入した値を引き算すると
先ほどと同じ15/2と言う答えが出てきます。
例題
この問題の答えはー33/４になるのですが、
この値、変だと思いませんか？
冒頭で、定積分とは面積ですよと言ったにもかかわらず、
その定積分の値がマイナスになっています。
これに気づけた人は鋭いですね。
この定積分をグラフに描いてみると👇のようになります。
この定積分で面積を求めているのは右のグラフでいう赤い部分です。
ここで、冒頭で定積分は面積ですよと言ったのを訂正すると、
定積分とは符号付きも面積を求めていることになります。
ｘ軸より上なら正、下なら負となります。
右の図はｘ軸より下にあるので、マイナスの値が出てくるわけですね。
ただ、これは、
「マイナスの値が出てくることもありますよ」
っていうことなので、計算方法は変わりません。
例題
定積分ならではの書き方の
大カッコも忘れずに書くようにしてください。
まとめ
ちなミニコーナー
それでは、
さようなら。
