高校数学ⅡB 積分「学校では教えてくれないインテグラルの本当の意味」
動画
BGMあり
BGMなし
積分より微分
まずは、微分の復習をしましょう。
せめて導関数を求められるようにだけはなってから
積分に入ってください。
微分👇
BGMあり
BGMなし
積分は面積
なんと積分の始まりは面積なんですね。
この囲まれた赤い部分の面積を求めます。
単純な図形、例えば長方形とか円とかなら、公式で一発なんですが
今回はきれいな図形ではなく、うねうねしているので、
公式は使えないわけです。
そこで、登場するのが積分と言う考え方です。
まず、今求めたい面積はaを固定しています。
ですから、ｔを動かすともちろん面積が変化します。
つまり、求める面積は、ｔの関数としてS(t)と表すことができます。
ｔの値が変われば面積も変わりますよと言う意味です。
面積を分割
この赤い面積を長方形に分割していきます。
そして、その分割した長方形の面積を個々に求めて、
それらをすべて足し合わせると赤い部分の面積が求まる。
と言う考え方です。
ただ、左の図を見ても分かる通り、４分割にしたくらいでは
青い長方形の和と赤い部分の面積に誤差が生じてしまいます。
この青い長方形の幅をΔｘとすると、このΔｘが大きすぎると
面積を求めるときに使い物にならないということです。
ここで出てきているΔは微分のところですでに登場済みなので、
詳しくはそちらの動画をご覧ください。
簡単に言うと幅はΔをつかって表すということだけです。
では、誤差をなくすためにどうすればいいのかと言うと
もっと細かく分割するわけです。
先ほど、長方形の幅をΔｘとしましたが、これでは荒いのでｄｘという限りなく小さい幅を考えます。このｄｘというのはｘの微小変化分という意味で、微分でできたものですね。忘れている人は復習するか意地でも思い出してください。
さて、このように限りなく小さい幅ｄｘをとったと言ことは、
この青い長方形の左橋をｘとすると、そこからｄｘだけずれたところに長方形の右端がくるので、もちろんｘ＋ｄｘと表すことができます。
このようにして、めちゃくちゃ細かい長方形に分割したら、あとはこの長方形の面積をもとめて、それらを合計すると赤い部分の面積が求めるわけです。
極細長方形の面積
この長方形は、幅がｄｘで高さがf(x)になります。
長方形の右端がｘなので、その時のy=f(x)におけるｙ座標がちょうど長方形の高さになっているということです。
ですから、この長方形の面積はf(x)dxとなります。
あとは、この極細の長方形をｘ＝a～ｔまですべて足し合わせること赤い部分の面積が求めるわけです。
「足す」と言うのは英語でsumなので、その頭文字Sを使って、
長方形の面積である～をｘ＝a～ｔまで足し合わせましょうねと言う意味でこの記号を使います。
このニョロっとしているのはインテグラルと言う名前がついていますが、実はアルファベットのSを記号化したものだったんですね。
式を見てもらっても分かる通り、そのインテグラルの上下に求める面積のスタートとストップを書きます。
以上が、積分の表し方と記号の意味です。今回紹介したのは表し方だけなので、次回、後編の方ではこの積分の計算方法について紹介していきたいと思います。
まとめ
ちなミニコーナー
分割した長方形の高さなんですが、
左右の辺で長さが違うんじゃないか
と思った人は鋭いですね～
厳密にいえば
右がf(x)
左がf(x+dx)
なので異なるんですが、
その差が気にならないくらい極細の長方形にしている
と言う考え方をしているわけです。高校数学ⅡB 積分「学校では教えてくれないインテグラルの本当の意味」
それでは、
さようなら。
